如何证明连续函数f（xi，x- i）的并的弱极大元是下半连续的，需要加什么条件，怎么构造

发表于 2023-10-14 16:21:48

谢谢您

发表于 2023-10-14 16:21:49

要证明连续函数f(xi, x-i)的并的弱极大元是下半连续的，需要加上以下条件：

1. 假设定义域是一个拓扑空间，即每个点都有一个邻域系统。此时，若每个邻域都包含一个使得f(xi, x-i)取到极大值的点，则可以证明并的弱极大元是下半连续的。

2. 假设极大值存在且唯一，即每个邻域内只有一个极大值点时，则并的弱极大元是下半连续的。

在这些条件下，构造下半连续的弱极大元可以采用如下方法：

1. 定义g(x)为所有邻域内f(xi, x-i)的极大值，则g(x)是原函数f(xi, x-i)的一个下半极大估计。

2. 将所有这样的下半极大估计求并，得到一个弱极大元，即h(x) = sup{g(x)}。

3. 需要证明h(x)是下半连续的，即对于所有x及其邻域U，存在另一个邻域V，使得当y∈V时，h(y)≤h(x)+ε，其中ε>0。

4. 为此，选择任意x及其邻域U。由于每个邻域内都有一个使f(xi, x-i)取到极大值的点，所以存在一个y∈U，使得g(y)≥g(x)-ε。另外，由于g(y)是下半极大估计，还存在一个邻域V⊂U，使得当z∈V时，g(z)≥g(y)。

5. 因此，对于所有z∈V，有h(z)≤sup{g(z)}≤g(y)≤g(x)≤h(x)+ε。

6. 由此可见，对于任意的x及其邻域U，存在一个邻域V，使得当y∈V时，满足h(y)≤h(x)+ε，因此h(x)是下半连续的。

通过这种方法，可以构造出连续函数f(xi, x-i)的并的弱极大元，并证明其是下半连续的。

发表于 2023-10-16 10:06:45

MRQ 发表于 2023-10-16 09:26
要证明连续函数f(xi, x-i)的并的弱极大元是下半连续的，需要加上以下条件：

1. 假设定义域是一个拓扑空 ...

f是一个向量值的函数，这样可以吗，谢谢你

发表于 2023-10-16 14:38:25

sonsonlon 发表于 2023-10-16 10:06
f是一个向量值的函数，这样可以吗，谢谢你

考虑到f是一个向量值的函数，我们可以将它视为一个实值函数的向量版本。假设我们有一列向量值函数 fn (xi, x-i)，其中n ∈ N，满足以下条件：

fn 是连续的；
所有 fn 对于所有 i 在 xi 上确定的限制都是单调的；
对于每个 i，x- i，序列 fn(xi, x-i) 相对于范数收敛于 f(xi, x-i)；
xi、x-i 属于紧集。
则根据 Arzelà–Ascoli 定理，该序列 fn 存在一个在该区域上一致收敛的子序列 fnk。由于 f 是连续的，我们可以通过逐点收敛的方式来证明该子序列相对于 f 的范数下半连续。因此，fnk 的极值也是相对于 f 下半连续的。由于对于任意的 fn_i 均存在一个 fnk 的子序列使其趋近于 f，因此 f 的极值是弱下半连续的。

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